direcciones IP y gateaways

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Estoy tratando de entender un poco esto de las redes... y la verdad que me cuesta. Les presento mi situacion y les agradeceria si me pueden contestar las preguntas para asi poder aclararme un poco:

Tengo una sola PC y conexion a Internet pagandole mensualmente a una pequeña empresa que presta servicios de Internet en mi pueblito...
Cuando contrate el servicio me trajeron un "aparato", lo engraparon a la pared, lo conectaron y todo bien...
El "aparato" esta conectado a mi PC a traves de un cable RJ-45, y conectado a un conector RF coaxial que vaya a saber Dios donde va...
¿El "aparato" es un modem o un router? Me fijo en el modelo, lo busco en Internet y me sale "Telephony Modem"... ya algo voy sabiendo: tengo un modem....

Ahora, buscando en wikipedia sale que un gateway es: "El gateway o «puerta de enlace» es normalmente un equipo informático configurado para dotar a las máquinas de una red local (LAN) conectadas a él de un acceso hacia una red exterior, generalmente realizando para ello operaciones de traducción de direcciones IP (NAT: Network Address Translation). Esta capacidad de traducción de direcciones permite aplicar una técnica llamada IP Masquerading (enmascaramiento de IP), usada muy a menudo para dar acceso a Internet a los equipos de una red de área local compartiendo una única conexión a Internet, y por tanto, una única dirección IP externa."

Como no estoy en una LAN, solo cuento con una humilde PC, calculo que ese cable coaxial que sale del modem ira a parar a un router de mi pueblito (¿hasta aca voy bien?).

¿Como saber cual es la direccion IP de ese router?
si pongo en la terminal ifconfig me sale mi direccion IP: a1.b1.c1.d1 (no pongo la real pues no se si es conveniente hacerlo en un foro, pero es una direccion clase C no es privada).
Leyendo preguntas anteriores en este foro vi que usan el comando route. Bien route me larga a1.b1.c1.0
Esa, por lo que tengo entendido, es una direccion de red, no de un dispositivo. Bien, ¿la IP del gateaway (o como se llame adonde va a parar el cable coaxial) deberia ser algo asi, pero terminando en .1? ¿Frio, tibio, caliente? ¿Como se exacta la terminacion sin adivinar si es .1 o no?

Otra cosa, la PC tambien tiene Win7. Asi que reinicio, hago ipconfig y me sale que ahora mi direccion IP es a2.b2.c2.d2 (cada cuarteto es distinto a la direccion IP anteriro, pero sigue siendo una clase C publica). Ahhhh, digo, cambia por algo relacionado a DHCP, direcciones dinamcas algo asi... (que calculo que esa direccion me la da mi ISP, o no?). Reinicio de vuelta a Ubuntu, hago ifconfig y me vuelve a dar la primera direccion a1.b1.c1.d1. Vuelvo a reiniciar ahora a Win7, me da devuelta a2.b2.c2.d2, vuelvo a reiniciar a Ubuntu y... si, a1.b1.c1.d1. O sea que esto de "dinamico" no es tan dinamico para cambiar con un rebooteo, pero cambiara calculo (dentro de unas horas lo vuelvo a chequear). Pero ahora bien: ¿por que diferentes direcciones IP dependiendo el S.O.? ¿La direccion IP no me la da mi ISP? ¿Este distingue y discrimina S.O.? ¿Nada que ver?

Desde ya, muchas gracias!